Question

已知AB是⊙O的直径，AT与⊙O相切于点A，⊙O交BT于C，CT=CB．
（1）如图1，求证：AB=AT；
（2）如图2，OT交⊙O于E，求tan∠TBE的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）欲证明AB=AT，只需证得AC是边BT上的中垂线；
（2）过B作BF∥AT交TO的延长线于F，过B作BG⊥TF于G，过E作EH⊥BT于H，设AB=2，则OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2

2

，OT=

22+12

=

5

，根据△AOT∽△BOF，求得BF=AT=2，OF=OT=

5

，根据三角形的面积求得OF•BG=OB•BF，得出BG=

OB•BF

FO

=

2

5

=

2 5

5

，OG=

OB2-BG2

=

5

5

，从而求得TG=OT+OG=

5

+

5

5

=

6 5

5

，根据△BTG∽△ETH，求得HE=

5 2 - 10

10

，HT=

15 2 -3 10

10

，进而求得BH=2

2

-

15 2 -3 10

10

=

5 2 +3 10

10

，从而求得tan∠TBE的值．

解答：（1）证明：如图1，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
又∵CT=CB，
∴AC是边BT上的中垂线，
∴AT=AB．
（2）解：过B作BF∥AT交TO的延长线于F，过B作BG⊥TF于G，过E作EH⊥BT于H，
设AB=2，
∴OA=OB=OE=1，AT=2，BT=2

2

，OT=

22+12

=

5

，
∵△AOT∽△BOF，
∴

AT

BF

=

OT

OF

=

OA

OB

=1，
∴BF=AT=2，OF=OT=

5

，
∴OF•BG=OB•BF，
∴BG=

OB•BF

FO

=

2

5

=

2 5

5

，
∴OG=

OB2-BG2

=

5

5

，
∴TG=OT+OG=

5

+

5

5

=

6 5

5

，
∵△BTG∽△ETH，
∴

HE

BG

=

ET

BT

=

HT

TG

，
∵TE=OT-OE=

5

-1，
∴

HE

2 5 5

=

5 -1

2 2

=

HT

6 5 5

，
∴HE=

5 2 - 10

10

，HT=

15 2 -3 10

10

，
∴∴tan∠TBE=

HE

BH

=

5 2 - 10 10

5 2 +3 10 10

=

5 2 - 10

5 2 +3 10

=

5

-2．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角的性质三角形相似的性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．