Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC=BC，CD∥AB交OA的延长线于点D．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=30°，求证：四边形AOBC是菱形；
（3）若∠ABC=30°，OA=1，求DC的长及AD、DC及弧AC围成的图形的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,菱形的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线性质求出OC⊥AB，推出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠AOB=120°，求出∠OAB=∠OBA=∠CAB=∠ABC，推出OA∥BC，OB∥AC，得出平行四边形AOBC，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出AB长，即可求出DC长，求出∠AOC的度数，分别求出三角形DCO和扇形AOC的面积，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1，连接OC交AB于E，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC垂直平分AB，
即AE=BE，OC⊥AB，
∵DC∥AB，
∴OC⊥DC，
∵OC为半径，
∴DC是⊙O的切线；

（2）证明：如图2，作圆周角AMB，则∠AMB=

1

2

∠AOB，
∵AC=BC，∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，∠ACB=180°-30°-30°=120°，
则∠AMB=180°-120°=60°，
∴∠AOB=2∠AMB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠OBA=∠CAB，∠OAB=∠ABC，
∴OA∥BC，OB∥AC，
∵OA=OB，
∴四边形AOBC是菱形；

（3）解：∵OC⊥AB，∠OAB=30°，OA=1，
∴OE=

1

2

OA=

1

2

，由勾股定理得：AE=

OA2-OE2

=

3

2

，∠AOC=90°-30°=60°，
∴AB=2AE=

3

，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA∥BC，
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=

3

，AD=BC=AO=1，
∴阴影部分的面积S=S_△DCO-S_扇形AOC=

1

2

×

3

×1-

60π×12

360

=

3

2

-

1

6

π．

点评：本题考查了扇形的面积，三角形的面积，切线的判定，垂径定理，线段垂直平分线性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识点的应用，能正确作出辅助线并能综合运用性质进行推理是解此题的关键．