Question

3．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径记为r，p=$\frac{1}{2}$（a+b+c），求证：△ABC面积S=rp．

Answer 1

分析 如图，⊙I是△ABC的内切圆，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，连接IA、IB、IC，根据S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC进行计算即可得到结论．

解答 证明：如图，⊙I是△ABC的内切圆，作ID⊥AB于D，IE⊥BC于E，IF⊥AC于F，连接IA、IB、IC，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴ID=IE=IF=r，
∵S_△AIB=$\frac{1}{2}$AB•ID，S_△CIB=$\frac{1}{2}$BC•IE，S_△AIC=$\frac{1}{2}$AC•IF，
∴S_△ABC=S_△AIB+S_△CIB+S_△AIC=$\frac{1}{2}$cr+$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br=$\frac{1}{2}$r（a+b+c）=pr．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．