Question

如图，AB=10，AC=8，BC=6，M是AB的中点，点D在线段AC上，且D是MN的中点，ME⊥AC于点E，NF⊥AC于点F．设AD=x，DM=y．
（1）求NF；
（2）确定x与y的数量关系；
（3）若⊙N的半径为AN，那么x分别取何值时，⊙N与直线AC、AB、BC相切．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）先由勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，进而得ME∥BC，求得ME=

1

2

BC=3，再根据ME∥FN即可求得NF的长；
（2）先用x表示出ED，再在在Rt△MED中，由勾股定理即可得答案；
（3）延长MA到P，使MA=AP；连接MC，并延长到Q，使MC=CQ；连接PQ，则不论x取何值，点N总在PQ上．再分三种情况讨论即可．

解答：解：（1）∵AC²+BC²=8²+6²=100，AB²=10²=100；  
∴AB²=AC²+BC²．
∴∠ACB=90°．
∵ME⊥AC于点E，
∴∠AEM=∠ACB=90°．
∴ME∥BC．
∵M是AB的中点，
∴ME=

1

2

BC=3．
∵D是MN的中点，
∴MD=ND．
∵NF⊥AC于点F，
∴ME∥FN．
∴

FN

ME

=

ND

MD

．
∴NF=ME=3；

（2）∵ME∥BC，M是AB的中点，
∴AE=EC=

1

2

AC=4．
∴ED=x-4．
∴在Rt△MED中，由勾股定理得，
DM²=ME²+DE²，
即y²=3²+（x-4）²，
y²=x²-8x+25；
（3）延长MA到P，使MA=AP；
连接MC，并延长到Q，使MC=CQ；
连接PQ，则不论x取何值，点N总在PQ上．
①作AN₁⊥AC，如图1交PQ于点N₁，
则⊙N₁与AC相切于点A．
设MN₁与AC交于点D₁，x=

1

2

AE=

1

2

×4，此时，x=2．
②作AN₂⊥AB，如图2，交PQ于点N₂，
则⊙N₂与AB相切于点A．
设MN₂与AC交于点D₂，则有3²+（4-x）²=x²，
解得x=

25

8

．
③取点N₃，如图3，使N₃到BC的距离等于A N₃，
则⊙N₃与BC相切．设MN₃与AC交于
点D₃，则有3²+（2x-4）²=（12-2x）²
解得x=

119

32

．

点评：本题主要考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等，综合性较强．