Question

如图，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A，B两点，OA＜OB，且OA、OB的长分别是一元二次方程x²-7x+12=0的两根．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点P是y轴上的点，点Q第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请

直

•

接

•

写出Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的长度，即求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）分P在B点的上边和在B的下边两种情况进行讨论，求得Q的坐标．

解答：解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x=3，x=4．
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）． 
∵设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0）
∴

0=3k+b 4=b

∴

k=- 4 3 b=4

∴直线AB的函数表达式为y=-

4

3

x+4．

（2）当P在B的下边时，AB是菱形的对角线，AB的中点D坐标是（

3

2

，2），
设过D点，与直线AB垂直的直线的解析式是y=

3

4

x+m，则

9

8

+m=2，
解得：m=

7

8

，
则P的坐标是（0，

7

8

）．
设Q的坐标是（x，y），则

x

2

=

3

2

，

7 8 +y

2

=2，
解得：x=3，y=

25

8

，
则Q点的坐标是：（3，

25

8

）．
当P在B点的上方时，AB=

32+42

=5，
AQ=5，则Q点的坐标是（3，5）．
总之，Q点的坐标是（3，5）或（3，

25

8

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及菱形的性质，正确对P的位置进行分类讨论是关键．