Question

1．已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0，8$\sqrt{3}$），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度沿线段CB向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒3个单位长度的速度沿射线OA方向移动，点P运动到点B时，两点停止运动．直线PQ交OB于点D，运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）求t为何值时，直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直；
（3）如果将题中的条件变为点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒a（1≤a≤3）单位，设运动时间为t（0＜t≤8），其它条件不变．当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似？请给出你的结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）连接AC交OB于点M，根据菱形的性质，在RT△AMO中，求出AM、OM即可．
（2）分两种情形①如图1中，当PQ⊥OA时，过C作CH⊥OA于H，②如图2中，当PQ⊥AB时，过P作PN∥AB交射线OA于N，分别利用直角三角形30度性质列出方程即可解决．
（3）当a=1，a=3时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似，①当a=1，△ODQ∽△OBA，②a=3时，△ODQ∽△OAB分别根据相似三角形性质列出方程即可解决．

解答 解：（1）连接AC交OB于点M，
∵∠AOC=60°，四边形ABCO是菱形，
∴AC垂直平分OB，OM=$\frac{1}{2}$OB=4$\sqrt{3}$，∠AOM=30°，
∴AM=4，
∴点D坐标为A（4，$4\sqrt{3}$）．
（2）①如图1中，当PQ⊥OA时，过C作CH⊥OA于H，
∵PQ∥CH，PC∥QH，
∴四边形PCHQ是平行四边形，
∵∠CHQ=90°，
∴四边形PCHQ是矩形，
∴PC=QH=t，OQ=3t，∠OCH=30°，OH=2t=$\frac{1}{2}OC=4$，
∴t=2．
②如图2中，当PQ⊥AB时，过P作PN∥AB交射线OA于N，
由菱形ABCO得，PN=AB=8，
∴OQ=3t，CP=t，∠PQN=30°，NQ=2t=16，
∴t=8，
即当t=2，t=8时，直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直．
（3）当a=1，a=3时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似，
①当a=1，△ODQ∽△OBA，
证明：由△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ∥AB，
∴四边形PCOQ为平行四边形，
∴CP=OQ，即at=t，（0＜t≤8）
∴a=1时，△ODQ∽△OBA，
②a=3时，△ODQ∽△OAB
当P与B重合时，D点也与B重合，此时t=8，
由△ODQ∽△OAB，得$\frac{OD}{OA}=\frac{OQ}{OB}$，
∵OD=OB，
∴OB²=OA•OQ，
即$（8\sqrt{3}{）^2}=8×8a$，
∴a=3，
∴a=3，△ODQ∽△OAB．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，把问题转化为方程去解决，属于中考压轴题．