Question

11．如图1，在矩形ABCD中，AD=12，E为BC的中点，作DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）如图2，若点F在线段AE的延长线上，求线段AB的取值范围；
（3）如图3，若F在线段AE上，DF与AC交与点H，且 $\frac{AH}{HC}$=$\frac{18}{11}$，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）由△ABE∽△DFA得到$\frac{12}{AE}$=$\frac{AF}{6}$，AF=$\frac{72}{AE}$，求出AE=AF时，AB的值即可解决问题．
（3）由△ADH∽△CHM得到$\frac{AH}{HC}$=$\frac{AD}{MC}$=$\frac{18}{11}$，求出CM、ME，设AB=a，则有AE=$\sqrt{36+{a}^{2}}$，EF=$\frac{1}{10}$$\sqrt{36+{a}^{2}}$，由△MFE∽△ABE列出方程即可解决．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC
∵DF⊥AE∴∠AFD=∠B=90°，
∵AD∥BC∴∠DAF=∠BEA，
∴△ABE∽△DFA．
（2）如图2中，

解：∵△ABE∽△DFA
∴$\frac{12}{AE}$=$\frac{AF}{6}$，AF=$\frac{72}{AE}$，
当AF=AE=6$\sqrt{2}$时△ABE和△DCE为等腰直角三角形，可得AB=6．
当点F在线段AE的延长线时0＜AB＜6．
 （3）如图3中，

当AB＞6时，延长DF交BC于点M
∵AD∥BC∴△ADH∽△CHM
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{AD}{MC}$=$\frac{18}{11}$，
∴CM=$\frac{22}{3}$，则有ME=$\frac{4}{3}$，
∵AD∥ME
∴△ADF∽△EMF
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AD}{ME}$=$\frac{9}{1}$，
设AB=a，则有AE=$\sqrt{36+{a}^{2}}$，EF=$\frac{1}{10}$$\sqrt{36+{a}^{2}}$，
∵∠FEM=∠AEB，∠MFE=∠B=90°
∴△MFE∽△ABE，
∴$\frac{ME}{AE}$=$\frac{EF}{BE}$
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{36+{a}^{2}}}$=$\frac{\frac{1}{10}\sqrt{36+{a}^{2}}}{6}$，
∴a²+36=80，
∴a=2$\sqrt{11}$，即AB=2$\sqrt{11}$，

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．