如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+2经过点A.且与y轴交于点C.点D的坐标为是该抛物线上的一个动点.连接CA.CD.PD.PB．(1)求该抛物线的解析式,(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时.求点P的坐标,(3)当m＞0.n＞0时.过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F.过点F作FG⊥x轴于点G.连接EG.请直接写出随着点P的运动.线段EG� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

分析（1）根据抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-1，0）和点B（4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可．
（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或-3，再把它代入抛物线的解析式，求出x的值是多少，即可判断出点P的坐标．
（3）首先应用待定系数法，求出BC所在的直线的解析式是多少；然后根据点P的坐标是（m，n），求出点F的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG²的最小值是多少，即可求出线段EG的最小值．

解答解：（1）把A（-1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax²+bx+2中，可得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴点C的坐标是（0，2），
∵点A（-1，0）、点D（2，0），
∴AD=2-（-1）=3，
∴△CAD的面积=$\frac{1}{2}×3×2=3$，
∴△PDB的面积=3，
∵点B（4，0）、点D（2，0），
∴BD=2，
∴|n|=3×2÷2=3，
∴n=3或-3，
①当n=3时，
-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=3，
解得m=1或m=2，
∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．
②当n=-3时，
-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=-3，
解得m=5或m=-2，
∴点P的坐标是（5，-3）或（-2，-3）．
综上，可得
点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）．

（3）如图1，

设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，
∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$
∴BC所在的直线的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵点P的坐标是（m，n），
∴点F的坐标是（4-2n，n），
∴EG²=（4-2n）²+n²=5n²-16n+16=5（n-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{16}{5}$，
∵n＞0，
∴当n=$\frac{8}{5}$时，线段EG的最小值是：$\sqrt{\frac{16}{5}}=\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
即线段EG的最小值是$\frac{4}{5}\sqrt{5}$．

点评（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求直线、函数解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．