Question

5．【问题提出】
我们知道对于任何一个封闭的平面图形．是否存在既平分周长，又平分面积的直线．
【问题探究】
（1）请在图1的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中AB=AD=9，BC=5，CD=13，∠A=90°．为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．并且要求路的一个出口在DC边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点A的距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据圆的特征，可得圆的直径既平分圆的周长，又平分圆的面积．
②根据平行四边形的特征，可得平行四边形的对角线既平分它的周长，又平分它的面积．
③根据等腰三角形的特征，可得等腰三角形底边上的高既平分它的周长，又平分它的面积．
（2）存在过AB的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积；首先设AM=x，则BP=3-x，CQ=2-x，BQ=x+3，然后根据△BMQ的面积等于△ABC的面积的一半，求出AM的值是多少即可．
（3）不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．首先设AE=x，则BE=9-x，DF=36÷2-x-9=9-x，CF=13-（9-x）=x+4，然后根据四边形AEFD的面积等于四边形ABCD的面积的一半，列出方程，根据方程的解的情况判断即可．

解答 解：（1）根据分析，可得
．

（2）如图2，
，
存在过AB的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
设AM=x，直线MQ既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，
则BM=3-x，CQ=（3+4+5）÷2-x-4=2-x，BQ=5-（2-x）=x+3，
∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
∴S_△BMQ=6÷2=3，
∴$\frac{3-x}{3}×\frac{x+3}{5}×6=3$，
解得x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或-$\frac{\sqrt{6}}{2}$（舍弃），
∴存在过AB上的点M的直线，使它既平分△ABC的周长，又平分△ABC的面积，此时AM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

（3）如图3，作CM⊥AD于点M，FN⊥AD于点N，
，
不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．
∵AB=AD=9，BC=5，CD=13，
∴四边形ABCD的周长为：9+9+5+13=36；
设AM=a，则DM=9-a，CM=b，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{+（b-9）}^{2}{=5}^{2}}\\{{（9-a）}^{2}{+b}^{2}{=13}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=12}\end{array}\right.$
∴S_{四边形ABCD}=（9+12）×4÷2+12×（9-4）÷2=72
设AE=x，
则BE=9-x，DF=36÷2-x-9=9-x，CF=13-（9-x）=x+4，
∵CM⊥AD，FN⊥AD，
∴FN∥CM，
∴$\frac{FN}{CM}=\frac{FD}{CD}$=$\frac{ND}{MD}$，
∴$\frac{FN}{12}=\frac{9-x}{13}$=$\frac{ND}{9-3}=\frac{ND}{6}$，
解得FN=$\frac{12}{13}（9-x）$，ND=$\frac{6}{13}（9-x）$，
∴${S}_{四边形AEFD}=[x+\frac{12}{13}（9-x）]$×$[9-\frac{6}{13}（9-x）]$÷2+$\frac{12}{13}（9-x）$×$\frac{6}{13}（9-x）$÷2=72÷2=36
整理，可得
52x²-390x+819=0，
△=390²-4×52×819=-18252＜0，
∴x无解，
∴不存在这样的路EF，使这条路所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积．

点评 此题主要考查了作图-应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．