Question

12．已知二次函数y=ax²+bx+2，它的图象经过点（1，2）．
（1）若该图象与x轴的一个交点为（-1，0）．
①求二次函数y=ax²+bx+2的表达式；
②出该二次函数的大致图象，并借助函数图象，求不等式ax²+bx+2≥0的解集；
（2）当a取a₁，a₂时，二次函数图象与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）．如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边．试比较a₁和a₂的大小．

Answer 1

分析 （1）①已知抛物线图象上的两点坐标，且只有两个待定系数，利用待定系数法求解即可；
②画出函数图象，根据图形求出不等式ax²+bx+2≥0的解集；
（2）用a表示出函数的解析式，然后分别将M、N的坐标代入抛物线的解析式中，分别用m、n表示出a₁、a₂，通过做差可比较出a₁、a₂的大小．

解答 解：（1）①∵二次函数y=ax²+bx+c经过点（1，2）和（-1，0）
可得$\left\{\begin{array}{l}a+b+2=2\\ a-b+2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$，
即二次函数的表达式为：y=-x²+x+2；
②如图：由图象得：不等式ax²+bx+2≥0的解集为：-1≤x≤2；

（2）∵二次函数与x轴正半轴交与点（m，0）且a=-b
∴${a_1}{m^2}-{a_1}m+2=0$，
即${a_1}=\frac{2}{{m-{m^2}}}$，
同理  ${a_2}{n^2}-{a_2}n+2=0$${a_2}=\frac{2}{{n-{n^2}}}$，
故${a_2}-{a_1}=\frac{2}{{n-{n^2}}}-\frac{2}{{m-{m^2}}}=\frac{2（m-n）（1-m-n）}{mn（1-m）（1-n）}$，
∵n＞m＞1，
故${a_2}-{a_1}=\frac{2（m-n）（1-m-n）}{mn（1-m）（1-n）}＞0$，
∴a₁＜a₂．

点评 本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及不等式的应用等知识，综合性较强，属于基础知识的综合考查，难度适中．