Question

20．已知，点C是线段BD上一动点，分别以BC、CD为边向同侧作等边△ABC和等边三角形△CDE，如图所示．
（1）请说明：△BCE≌△ACD；
（2）在点C从B到D运动的过程中，∠AHB的大小是否发生变化？若不变请求出该角的度数，若变请说明变化规律；
（3）连接FG，请判断FG与BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可以根据SAS即可证明；
（2）∠AHB的大小不变．利用“8字型”证明∠AHF=∠FCB=60°即可；
（3）由△BCF≌△ACG，推出CF=CG，由∠FCG=60°，推出△FCG是等边三角形，推出∠FGC=∠GCD=60°，即可推出FG∥BD；

解答 （1）证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴BC=CA，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠BCE=△ACB，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD．

（2）解：∠AHB的大小不变．
理由：∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠FAH，
∵∠AFH=∠BFC，
∴∠AHF=∠ACB=60°，
即∠AHB=60°．

（3）解：结论：FG∥BD．
理由：在△BCF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{BC=CA}\\{∠BCF=∠ACG=60°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG，
∴CF=CG，
∵∠FCG=60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴∠FGC=∠GCD=60°，
∴FG∥BD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．