Question

8．如图1，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，点M为AB中点，点D在弧$\widehat{BC}$上，连接CD、BD，点G是CD的中点，连结MG．
（1）求证：MG⊥CD；
（2）如图2，若AC=BC，AD平分∠BAC，AD与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，求证：CF=CE；
（3）在（2）的条件下，若OG•DE=3（2-$\sqrt{2}$），求⊙O的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线的性质，可得OC=OD，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）只要证明△ACE≌△BCF，即可解决问题；
（3）（2）过点O作OH⊥BD于H，根据垂径得BH=DH，则根据三角形中位线性质得AD=2OH，再利用∠CAD=∠BAD得CD=BD，根据弦心距相等，对应的弦相等得到OH=OG，接着证明Rt△BDE∽Rt△ADB，利用相似比得到BD²=AD•DE=2OH•DE=2OG•DE=6（2-$\sqrt{2}$），再利用等腰三角形的判定与性质得DF=BD，AB=AF，即BF=2BD，所以BF²=4BD²=24（2-$\sqrt{2}$），设AC=x，则BC=x，AB=$\sqrt{2}$x=AF，得到CF=AF-AC=（ $\sqrt{2}$-1）x，在Rt△BCF中，∵根据勾股定理得[$\sqrt{2}$-1）x]²+x²=24（2-$\sqrt{2}$），解得x=2 $\sqrt{3}$或x=-2 $\sqrt{3}$（舍去），则AB=$\sqrt{2}$x=2 $\sqrt{6}$，于是得到半径OA=$\sqrt{6}$，最后利用圆的面积公式计算即可；

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，点M与O重合，
∴∠ADB=90°，
∵OA=OB，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB，OD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CO=OD，∵CG=GD，
∴CG⊥CD，
即MG⊥CD．

（2）证明：如图2中，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE=CF．


（3）解：过点O作OH⊥BD于H，则BH=DH，

则OH=$\frac{1}{2}$AD，即AD=2OH，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴OH=OG，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE=2OH•DE=2OG•DE=6（2-$\sqrt{2}$），
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BF，
而AD平分∠BAC，
∴AB=AF，
∴BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF²=4BD²=24（2-$\sqrt{2}$），
设AC=x，则BC=x，AB=$\sqrt{2}$x，
∴AF=$\sqrt{2}$x，
∴CF=AF-AC=$\sqrt{2}$x-x=（ $\sqrt{2}$-1）x，
在Rt△BCF中，∵CF²+BC²=BF²，
∴[$\sqrt{2}$-1）x]²+x²=24（2-$\sqrt{2}$），
∴x²=12，解得x=2 $\sqrt{3}$或x=-2 $\sqrt{3}$（舍去），
∴AB=$\sqrt{2}$x=2 $\sqrt{6}$，
∴OA=$\sqrt{6}$，
∴⊙O面积=π•（ $\sqrt{6}$）²=6π．

点评 本题考查了圆的综合题、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．