Question

2．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式A_m=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A₇=（2，3），则A₂₀₁₅=（　　）

• A． （31，50）
• B． （32，47）
• C． （33，46）
• D． （34，42）

Answer 1

分析 先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．

解答 方法一：
解：2015是第$\frac{2015+1}{2}$=1008个数，
设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，
即$\frac{（1+2n-1）n}{2}$≥1008，
解得：n≥$\sqrt{1008}$，
当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；
当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；
故第1008个数在第32组，
第1024个数为：2×1024-1=2047，
第32组的第一个数为：2×962-1=1923，
则2015是（$\frac{2015-1923}{2}$+1）=47个数．
故A₂₀₁₅=（32，47）．
故选B．
方法二：
由观察可知，每行的第一个数及最后一行数呈二次函数，
即n=1，s=1；n=2，s=3，n=3，s=9，
n=1，s=1；n=2，s=7，n=3，s=17，
设s=an²+bn+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{4a+2b+c=3}\\{9a+3b+c=9}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴第一行满足函数关系式：s=2n²-4n+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{4a+2b+c=7}\\{9a+3b+c=17}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴最后一行满足的函数关系式：s=2n²-1，
∴2n²-4n+3＜2015＜2n²-1，
∴n_min=32，
取n=32代入第一行的函数关系式：s=2n²-4n+3，
∴s=1923，即第32行第一个数为1923，
∴j=$\frac{1}{2}×（2015-1923）+1$=47，
∴A₂₀₁₅=（32，47）．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．