Question

11．如图是函数y=$\frac{3}{x}$与函数y=$\frac{6}{x}$在第一象限内的图象，点P是y=$\frac{6}{x}$的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=$\frac{3}{x}$的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=$\frac{3}{x}$的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．

解答 （1）证明：∵点P在函数y=$\frac{6}{x}$上，
∴设P点坐标为（$\frac{6}{m}$，m）．
∵点D在函数y=$\frac{3}{x}$上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（$\frac{3}{m}$，m），
由题意，得
BD=$\frac{3}{m}$，BP=$\frac{6}{m}$=2BD，
∴D是BP的中点．
（2）解：S_{四边形OAPB}=$\frac{6}{m}$•m=6，
设C点坐标为（x，$\frac{3}{x}$），D点坐标为（$\frac{3}{y}$，y），
S_△OBD=$\frac{1}{2}$•y•$\frac{3}{y}$=$\frac{3}{2}$，
S_△OAC=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{3}{x}$=$\frac{3}{2}$，
S_{四边形OCPD}=S_{四边形PBOA}-S_△OBD-S_△OAC=6-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．