Question

9．如图，⊙O中，半径CO垂直于直径AB，D为OC的中点，过D作弦EF∥AB，EB与OC交于点P．
（1）求∠ABE的度数．
（2）若连结AB=8，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，可得到△DOE为Rt△，由D为OC的中点，则可求出∠OED，于是得到∠AOE，利用圆周角定理即可求出∠ABE；
（2）由垂径定理和勾股定理求出DE，即可得出EF的长．

解答 解：连接OE，如图，
∵半径CO垂直于直径AB，而EF∥AB，
∴∠EDO=90°，∠AOE=∠OED，
又∵D为OC的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠OED=30°，
∴∠AOE=30°，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠AOE=15°；
（2）∵EF∥AB，OC⊥AB，
∴OC⊥EF，
∴EF=2DE，
∵AB=8，
∴OE=OC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=2，
∴DE=$\sqrt{{OE}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．