Question

4．（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=45°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，$\frac{1}{2}$BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，$\frac{1}{2}$BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，
（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．利用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=OF=2；在等腰Rt△BOE中，利用勾股定理得到OE=DF=4；则在Rt△AOF中，易得AF=2$\sqrt{7}$，故AD=2$\sqrt{7}$+4．

解答 解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，

（3）如图3，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°．
在Rt△BOC中，BC=6+2=8，
∴BO=CO=4$\sqrt{2}$．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OF=2．
在Rt△BOE中，BO=4$\sqrt{2}$，BE=4，
∴OE=DF=4．
在Rt△AOF中，AO=4$\sqrt{2}$，OF=2，
∴AF=2$\sqrt{7}$，
∴AD=2$\sqrt{7}$+4．

点评 本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．