Question

20．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=4cm，AC=9cm，点D在射线CA上从C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为2m/s，现设运动时间为x秒时，对应的△ABD的面积为y cm²
（1）填写下表：

时间x秒	…	2	4	6	…
面积y cm2	…				…

（2）请写出y与x之间满足的关系式；
（3）在点D的运动过程中
①直接指出出现△ABD为等腰三角形的次数有2次，当第一次出现△ABD为等腰三角形时，请用所学知识描述此时点D所在的位置为AB垂直平分线与AC的交点处
②求当x为何值时，△ABD的面积是△ABC的面积的$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由x的值可以找到AD的长度，套用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）在D点的运动过程中，△ABD的面积先减少后增大，分D点在线段AC内或者CA延长线上讨论；
（3）①当临边相等的时候，三角形为等腰三角形，根据点D的运动过程能找到只有2次出现△ABD为等腰三角形，由等腰三角形底边上的高线的性质即可得出结论；②先求出△ABC的面积的$\frac{1}{4}$，套入（2）的解析式即可得出结论．

解答 解：（1）当x=2时，CD=2×2=4cm，AD=AC-CD=5cm，
此时y=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×5=10cm²．
当x=4时，CD=2×4=8cm，AD=AC-CD=1cm，
此时y=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×1=2cm²．
当x=6时，CD=2×6=12cm，AD=CD-AC=12-9=3cm，
此时y=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×4×3=6cm²
故答案为：10；2；6．
（2）①当D在线段AC时，如图1，

此时0＜CD≤AC，即0＜2x≤9，解得0＜x≤$\frac{9}{2}$，
∵CD=2x，AD=AC-CD=9-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$（9-2x）×4=-4x+18，
∴y与x之间满足的关系式为：y=-4x+18，
②当D在CA的延长线时，如图2，

此时CD＞AC，即2x＞9，解得x＞$\frac{9}{2}$，
∵CD=2x，AD=CD-AC=2x-9，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$（2x-9）×4=4x-18；
综合①②得：y=$\left\{\begin{array}{l}{y=-4x+18（0＜x≤\frac{9}{2}）}\\{y=4x-18（x＞\frac{9}{2}）}\end{array}\right.$．
（3）①若△ABD为等腰三角形，只需AD=BD，AD=AB，或者AB=BD，
∵D点从C点出发，故当BD=AB时，AB、BD重合，不为三角形．
∴出现△ABD为等腰三角形的次数有2次．
第一次△ABD为等腰三角形时，BD=AD，
∵BD=AD，
∴过A点作BD的垂线，必平分BD．
故答案为：2；BD垂直平分线；AC．
②△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$×9×4=18，
令y=$\frac{18}{4}$时，即$\frac{18}{4}$=-4x+18，或者$\frac{18}{4}$=4x-18，
解得x=$\frac{27}{8}$，或者x=$\frac{45}{8}$．
故当x=$\frac{27}{8}$或者x=$\frac{45}{8}$时，△ABD的面积是△ABC的面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，解题的关键是（1）会用三角形的面积公式；（2）分D点在线段AC内或者CA延长线上讨论；（3）牢记等腰三角形的性质．