题目内容
19．
如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
分析 （1）求出EF∥AB根据平行四边形的性质得出AF∥BE，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出OA=CO，AD∥BC，求出∠FAO=∠ECO，根据ASA推出△AFO≌△CEO，即可得出答案；
（3）可以成菱形，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，根据菱形的判定得出即可；求出∠AOB=45°，即可得出答案．
解答 （1）证明：当旋转角为90°时，
∵∠BAC=90°，
∴EF∥AB
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AFO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴AF=CE；
（3）解：可以成菱形，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，
理由是：∵由（2）知：△AFO≌△CEO，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∵在Rt△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=CO=1=AB，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠FOB=90°，
∴∠FOA=90°-45°=45°，
∴此时AC绕点O顺时针旋转的角度是45°．
点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
练习册系列答案
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8．
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