Question

如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E，F，已知AD=4，试说明AE²+CF²的值是一个常数．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF ∠AEB=∠BFC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=AD²=16为常数．

点评：本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识．