Question

6．顶点为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{4}$）的抛物线与y轴交于点A（0，-4），E（0，b）（b＞-4）为y轴上一动点，过点E的直线y=x+b与抛物线交于B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图1，当b=0时，求证：E是线段BC的中点；
②当b≠0时，E还是线段BC的中点吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为知道抛物线的顶点坐标，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x+$\frac{1}{2}$x）²-$\frac{17}{4}$，把A点的坐标代入求出a的值即可求出抛物线的解析式；
（2）①分别过点B、C作BM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，当b=0时，直线BC为y=x，此时点E与点O重合，联立直线和抛物线的解析式可求出B，C点的坐标，进而得到BM=CN=2，再通过证明△BME∽△CNE，由相似三角形的性质可得：BE：CE=BM：CN，故BE=CE；②当b≠0时，E还是线段BC的中点，分别过点B、C作BP⊥y轴于点P，CQ⊥y轴于点Q，其他过程同①．

解答 （1）解：据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{4}$．
把x=0，y=-4代入，得-4=a（0+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{4}$，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{4}$=x²+x-4．

（2）①证明：分别过点B、C作BM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N．（如图1）
当b=0时，直线BC为y=x，此时点E与点O重合．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+x-4}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$．
则B、C的坐标分别为（2，2）、（-2，-2），
即BM=CN=2．
又BM⊥y轴，CN⊥y轴，
∴BM∥CN，
∴△BME∽△CNE，
即BE：CE=BM：CN，
故BE=CE．
②解：E还是线段BC的中点．理由如下：
如图2，分别过点B、C作BP⊥y轴于点P，CQ⊥y轴于点Q．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y={x}^{2}+x-4}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{b+4}}\\{{y}_{1}=\sqrt{b+4}+6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{b+4}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{b+4}+b}\end{array}\right.$．
则B、C的坐标分别为（$\sqrt{b+4}$，$\sqrt{b+4}$+b），（-$\sqrt{b+4}$，-$\sqrt{b+4}$+b），
即BP=CQ=$\sqrt{b+4}$．
同样可得△BPE∽△CQE，
即BE：CE=BP：CQ，
故BE=CE

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及解二元二次方程组，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．