Question

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）若△BMN面积为$\frac{25}{4}$，求点M的坐标；
（3）若MA⊥AB，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（8，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，求出k的值即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，设M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），用t表示出MN的长度，再由△BMN面积为$\frac{25}{4}$求出t的值，进而可得出M点的坐标；
（3）过点A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点P，根据△ABQ∽△PAQ得出P点坐标，求出直线AP的解析式，进而可得出结论．

解答 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：k=1×8=8，即k=8；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵A（8，1），B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}8k+b=1\\ b=-3\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=-3\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-3．
由（1）得反比例函数的解析式为：y=$\frac{8}{x}$，
设M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），则MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3．
∴S_△BMN=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3）•t=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{25}{4}$．
∵S_△BMN=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=$\frac{25}{4}$，
∴（t-3）²=0，
∴t₁=t₂=3．
∴当△BMN的面积为$\frac{25}{4}$时点M的坐标为（3，$\frac{8}{3}$）．

（3）如图，过点A作AQ⊥y轴于点Q，延长AM交y轴于点P，
∵MA⊥AB，
∴△ABQ∽△PAQ，
∴$\frac{AQ}{BQ}$=$\frac{PQ}{AQ}$，即$\frac{8}{4}$=$\frac{PQ}{8}$，解得PQ=16，
∴P（0，17）．
又∵A（8，1），
∴直线AP的解析式为：y=-2x+17．
∴解-2x+17=$\frac{8}{x}$得，x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=8，
∴t=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，难度适中．