Question

8．已知正方形ABCD，P为边AB上一点（P不与A、B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，连接AE．
（1）如图1，求∠EAD的度数；
（2）如图2，连接CE交BD于G，求证：AE+2DG=$\sqrt{2}$CD；
（3）如图2，当BC=10，PA=6，则BG=7$\sqrt{2}$（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EH⊥BA于H．只要证明△HPE≌△CBP，推出BC=PH=AB，HE=PB，推出PB=AH=EH，推出∠HAE=45°，即可解决问题；
（2）作EK∥AB交BD于K．首先证明四边形ABKE是平行四边形，再证明△GEK≌△GCD，可得GD=GK，根据BD=$\sqrt{2}$CD，即可解决问题；
（3）理由（1）（2）中结论即可解决问题；

解答 （1）解：如图1中，作EH⊥BA于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠HAD=90°，AB=BC，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠BPC+∠HPE=90°，∠BPC+∠BCP=90°，
∴∠HPE=∠BCP，
在△HPE和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠B=90°}\\{∠HPE=∠BCP}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，
∴△HPE≌△CBP，
∴BC=PH=AB，HE=PB，
∴PB=AH=EH，
∴∠HAE=45°，
∴∠EAD=45°．

（2）证明：作EK∥AB交BD于K．

∵∠EAD=∠ABD=45°，
∴AE∥BK，∵AB∥EK，
∴四边形ABKE是平行四边形，
∴EK=AB=CD，AE=BK，
∵AB∥CD，∴EK∥CD，
∴∠GEK=∠GCD，
∴△GEK≌△GCD，
∴GD=GK，
∵BD=$\sqrt{2}$CD，BD=BK+DK=AE+2DG，
∴AE+2DG=$\sqrt{2}$CD．

（3）解：由（1）可知AE=4$\sqrt{2}$，由（2）可知4$\sqrt{2}$+2DG=10$\sqrt{2}$，
∴DG=3$\sqrt{2}$，
∵BD=10$\sqrt{2}$，
∴BG=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．