Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点F，交△ABC外接圆于点D，BC=6，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，点E是△ABC内切圆的圆心，则OE的长为5-$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 连接BE．依据三角形的内心的性质以及圆周角定理证明∠DBE=∠DEB，得出BD=DE；连接OB．先证明圆周角定理和三角形的内心的性质可知∠BAC=∠BOF，依据锐角三角函数的定义可求得OB的长，然后依据勾股定理可求得OF的长于是得到DF的长，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的长，依据问题（1）的结论可得到DE的长，从而求得OE的长．

解答 解：连接BE、OB．如图所示：
∵是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠DBC=∠CAD．
∴∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB．
∴BD=ED．
∵AD⊥BC，
∴BD=FC=3．
∵∠BAC=∠BOD，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，BF=3，
∴OF=4，
∴OB=5，
∴DF=1．
在Rt△BDF中，BF²+DF²=BD²．
∴BD=$\sqrt{10}$．
∴DE=$\sqrt{10}$．
∴OE=5-$\sqrt{10}$；
故答案为：5-$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心的性质、勾股定理的应用、圆周角定理、锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义求得OB的长度是解题的关键．