Question

20．在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆O，P是BC边上一动点（不与B、c重合），过点P作半圆O的切线，与过A点的垂线交于点Q．AC与PQ，OQ分别交于点E，F，如果P，C，F三点构成的三角形与△AEO相似，那么∠CPF的度数是90°或60°．

Answer 1

分析 解根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠BAC=45°，①当∠CPF=∠AEO时，如图1，得到∠AQG=∠AEO，根据切线的性质得到∠AQE=$\frac{1}{2}∠$AQE，等量代换得到∠AQE=$\frac{1}{2}$∠AEO，求得∠QAE=$\frac{1}{2}∠$AEO，得到结论；②当∠CPF=∠AOE时，如图2，根据平行线的性质得到∠AQP+∠BPQ=180°，根据切线的性质得到∠OQP+∠OPQ=$\frac{1}{2}$（∠AQP+∠BPQ）=90°，等量代换得到∠OPQ=∠AOQ=∠OBP，于是得到结论．

解答 解：∵∠ABC=90°，AQ⊥AB，AB为半圆O的直径，
∴AQ与BC是半圆O的切线，
∴AQ∥BC，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∵P，C，F三点构成的三角形与△AEO相似，
∴①当∠CPF=∠AEO时，如图1，
∴∠AQG=∠AEO，
∵AQ，GQ是半圆O的切线，
∴∠AQE=$\frac{1}{2}∠$AQE，
∴∠AQE=$\frac{1}{2}$∠AEO，
∵∠AEO=∠AQE+∠QAE，
∴∠QAE=$\frac{1}{2}∠$AEO，
∵∠QAE=45°，
∴∠AEO=90°，
∴∠CPF=90°；
②当∠CPF=∠AOE时，如图2，
∵AQ∥BC，
∴∠AQP+∠BPQ=180°，
∵PQ，AQ，BP是半圆O的切线，
∴∠OQP+∠OPQ=$\frac{1}{2}$（∠AQP+∠BPQ）=90°，
∴∠OPQ=∠AOQ=∠OBP，
∴∠CPF=∠FPO=∠BPO=60°．
综上所述：如果P，C，F三点构成的三角形与△AEO相似，那么∠CPF的度数是90°或60°，
故答案为：90°或60°．

点评 本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．