Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．点P从点C出发沿CB以1cm/s的速度向终点B匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以acm/s的速度向点B匀速运动，以点C为圆心，CP为长为半径画⊙C交AC于点D，连接PQ、DQ、PD．若在运动的过程中PQ与⊙C始终保持相切，设运动时间为ts．
（1）a=$\frac{5}{3}$；
（2）当S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC时，求t的值；
（3）是否存在t的值，使得△PQD是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作QM⊥AC于M．首先证明四边形PCMQ是矩形，由QM∥BC，得$\frac{QM}{BC}$=$\frac{AQ}{AB}$，可得方程$\frac{t}{6}$=$\frac{at}{10}$，解方程即可．
（2）由PQ∥AC，得$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，即$\frac{PQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，推出PQ=$\frac{4}{3}$（6-t），根据S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC，列出方程，解方程即可．
（3）分两种情形讨论）①当∠PDQ=90°，易知△PDQ是等腰直角三角形，则有$\frac{1}{2}$PQ=PC，②当∠PQD=90°时，则有AM+CD=8，分别构建方程解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作QM⊥AC于M．

在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=8，
BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵PQ是⊙C的切线，
∴PQ⊥BC，
∴∠QPC=∠PCM=∠CMQ=90°，
∴四边形PCMQ是矩形，
∴QM=PC=t，
∵QM∥BC，
∴$\frac{QM}{BC}$=$\frac{AQ}{AB}$
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{at}{10}$，
∴a=$\frac{5}{3}$cm/s．
故答案为$\frac{5}{3}$．

（2）∵PQ∥AC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BP}{BC}$，
∴$\frac{PQ}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，
∴PQ=$\frac{4}{3}$（6-t），
∵S_△PQD=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$（6-t）•t=$\frac{2}{9}$•$\frac{1}{2}$•6•8，
∴t=2或4．

（3）①当∠PDQ=90°，易知△PDQ是等腰直角三角形，则有$\frac{1}{2}$PQ=PC，
∴$\frac{4}{3}$（6-t）=2t，
∴t=$\frac{12}{5}$．
②当∠PQD=90°时，则有AM+CD=8，
∴$\frac{4}{3}$t+t=8，
∴t=$\frac{24}{7}$，
综上所述，t=$\frac{18}{11}$s或$\frac{24}{7}$s时，△PQD是直角三角形．

点评 本题考查圆综合题、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．