Question

20．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2$\sqrt{2}$，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）
（1）求BC的长；
（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；
（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，根据AB是直径，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，只要证明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解决问题．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根据tan∠HBG=2$\sqrt{2}$，利用勾股定理求出线段HB、HG，再利用CG∥DO得$\frac{CG}{OD}=\frac{GN}{ON}$，由此即可解决．

解答 解；（1）如图1中，连接AC，

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=2$\sqrt{2}$，
∴可以假设AC=2$\sqrt{2}$k，BC=k，
∵AB=6，AB²=AC²+BC²，
∴36=8k²+k²，
∴k²=4，
∵k＞0，
∴k=2，BC=2．
（2）如图2中，

∵△MBC与△MOC相似，
∴∠MBC=∠MCO，
∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，
∴∠OBC=∠OCD，
∵OB=OC=OD，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，
在△OBC和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠OCD}\\{∠OCB=∠ODC}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△OCD，
∴BC=CD=2．
（3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H．

∵BC∥OD，
∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，
∴BO=BG=3，
∵tan∠HBG=$\frac{GH}{HB}=2\sqrt{2}$，设GH=2$\sqrt{2}$a，HB=a，
∵BG²=GH²+HB²，
∴8a²+a²=9，
∴a²=1，
∵a＞0，
∴a=1，HB=1，GH=2$\sqrt{2}$，OH=2，OG=$\sqrt{O{H}^{2}+H{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵GC∥DO，
∴$\frac{GN}{ON}=\frac{CG}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
∴ON=$\frac{3}{4}$×$2\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属于中考压轴题．