Question

4．如图，正方形ABCD，点O为两条对角线的交点．
（1）如图①，点M、N分别在AD、CD边上，∠MON=90°，求证：OM=ON．
（2）如图②，若AE交CD于点E，DF⊥AE于F，在AE截取AG=DF，连接OF、OG，那么△OFG是哪种特殊三角形，证明你的结论．
（3）如图③，若AE交BC于点E，DF⊥AE于F，连接OF，求∠DFO的度数．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质得到∠OAM=∠ODM，再利用等量的差相等得到∠AOM=∠DON，从而证明出△AOM≌△DON即可，
（2）利用正方形的性质得到∠OAM=∠ODM，再利用等量的和相等得到∠DAE=∠FDE，从而证明出△OAG≌△ODF即可，
（3）借助与（1）和（2）的特点作出辅助线即可．

解答 （1）证明：如图①，连接OA，OD，则OA=OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∠OAM=∠ODM=45°，
∵∠MON=90°，
∴∠AOD-∠MOD=∠MON-∠MOD，
∴∠AOM=∠DON，
∴△AOM≌△DON（ASA），
∴OM=ON；
（2）
如图②，△OFG为等腰直角三角形．
证明：连接OA，OD，则OA=OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∠OAD=∠ODC=45°，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF=∠ADF+FDE=90°
∴∠DAE=∠FDE，
∴∠OAG=∠ODF，
∵AG=DF，
∴△OAG≌△ODF，
∴OG=OF，
∠AOG=∠DOF，
∴∠GOF=∠GOD+∠DOF=∠AOG+∠GOD=90°，
故△OFG为等腰直角三角形．
（3）
解：如图③，在AE上截取AG=DF，连接OA，OD，OG，其中OA与DF交于点H，则AO=DO，
∵∠AFD=∠AOD=90°，
∠AHF=∠DHO，
∴∠GAO=∠FDO，
∴△OAG≌△ODF，
∴OG=OF，
∠AOG=∠DOF，
∴∠GOF=∠GOA-∠FOA=∠DOF-∠FOA=90°，
∴∠GFO=45°，
∴DF⊥AE，
∴∠DFO=45°．

点评 本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，涉及到正方形正方形的对角线垂直相等且平分，如OA=OD，用到等量的和（差）相等，如得到∠AOM=∠DON，∠DAE=∠FDE，本题的关键是充分利用正方形的性质．