Question

16．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE=1，CD=2$\sqrt{3}$．
（1）求AB的长；
（2）连结BC和BD，请判断△BCD的形状，并证明．

Answer 1

分析 （1）连接OC，设OC=r，则OE=r-1，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出r的值，进而可得出结论；
（2）根据（1）中AB的长得出BE的长，由锐角三角函数的定义得出∠BCD的度数，进而可得出∠BDC的度数，由此可得出结论．

解答 解：（1）连接OC，设OC=r，则OE=r-1，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE=1，CD=2$\sqrt{3}$，
CE=DE=$\sqrt{3}$．
在Rt△OCE中，
∵CE²+OE²=OC²，即（$\sqrt{3}$）²+（r-1）²=r²，解得r=2，
∵AB=2r=4；

（2）△BCD是等边三角形．
理由：∵AB=4，AE=1，
∴BE=4-1=3，
∴tan∠BCD=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BCD=60°．
∵AB⊥CD，
∴∠BDC=∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．