Question

11．如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线y=-$\frac{1}{4}$x+3经过点B，与y轴交于点C．
（1）求点B的坐标；
（2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD=∠OCD，CE=5，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标结合AB⊥x轴可得出直线AB的解析式，进而可得出点B的横坐标，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标；
（2）令直线AD与x轴的交点为点M，根据平行线的性质可得出∠MDA=∠DCO，结合∠ECD=∠OCD即可得出CE=DE，设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，结合CE=5利用两点间的距离公式即可得出关于m的方程，解方程即可得出m的值，将其代入点D的坐标中可得出点D的坐标，再根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，
∴直线AB的解析式为x=4．
当x=4时，y=-$\frac{1}{4}$×4+3=2，
∴点B的坐标为（4，2）．
（2）令直线AD与x轴的交点为点M，如图所示．
∵AB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴AB∥CO，
∴∠MDA=∠DCO．
∵∠MDA=CDE，∠OCD=EDC，
∴∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE=5．
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），
，∵CE=$\sqrt{（4-0）^{2}+（m-3）^{2}}$=5，
∴m₁=6，m₂=0，
∴点D的坐标为（4，1）或（4，-5）．
设直线l的解析式为y=kx+3，
∴1=4k+3或-5=4k+3，
解得：k=-$\frac{1}{2}$或k=-2，
∴直线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$+3或y=-2x+3．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是找出CE=DE=5．