Question

8．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ABO的顶点B在x轴正半轴上，∠AOB=30?，OA=2$\sqrt{3}$，C（$\frac{1}{2}$，0），P 为OA上的一个动点，
（1）求点A的坐标；
（2）求PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形30度角性质以及勾股定理求出OB、AB即可．
（2）作B关于直线OA的对称点B′，连接B′C交OA于点P，此时PC+PB最小，连接OB′．求出点B′坐标，利用两点间距离公式计算即可．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，
∵∠AOB=30°，OA=2$\sqrt{3}$，∠ABO=90°，
∴AB=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}-A{B}^{2}}$=3，
∴A（3，$\sqrt{3}$）．

（2）作B关于直线OA的对称点B′，连接B′C交OA于点P，此时PC+PB最小，连接OB′．

∵OB=OB′，∠BOB′=2∠AOB=60°，
∴△BOB′是等边三角形，易知B′（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∵PB=PB′，
∴PB+PC=PC+PB′=CB′=$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
∴PB+PC的最小值为$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、坐标与图形、直角三角形30度角性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．