Question

9．已知正方形ABCD中，以CD为边作等边三角形CED，连接BE与对角线AC交于点F，求证：EF=BF+CF．

Answer 1

分析 作∠ECM=45°，CM交EF于M，根据正方形的性质得出∠BCF=∠ACD=45°=∠ECM，BC=CD，根据等边三角形的性质得出∠DCE=60°，CE=CD，求出∠FCM=60°，∠CBF=∠CEM，根据ASA推出△CBF≌△CEM，根据全等三角形的性质得出BF=EM，CM=CF，求出CF=FM即可．

解答 证明：作∠ECM=45°，CM交EF于M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠ACD=45°=∠ECM，BC=CD，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠DCM=60°-45°=15°，BC=CE，
∴∠FCM=45°+15°=60°，∠CBF=∠CEM，
在△CBF和△CEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠ECM}\\{BC=CE}\\{∠CBF=∠CEM}\end{array}\right.$
∴△CBF≌△CEM（ASA），
∴BF=EM，CM=CF，
∵∠FCM=60°，
∴△FCM是等边三角形，
∴CF=FM，
∴EF=EM+FM=BF+CF．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．