Question

14．如图，在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，以AC为边向外作△ACD，且AC=DC，∠ACD=50°，点E在边AB上，以E为顶点作∠CEA=50°，点E在边AB上，以E为顶点作∠CEA=50°，过点D作DF⊥CE，交EC的延长线于点F．
（1）求证：△CDF≌△ACG；
（2）求DF的长．

Answer 1

分析 （1）要证明△CDF≌△ACG，只要找到全等的条件即可，由题目可以得到CA=CD，∠DFC=∠CGA，由CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延长线于点F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，可以得到∠DCF=∠CAG，从而可以证得结论成立；
（2）由（1）中△CDF≌△ACG，可以得到DF=CG，根据在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，过点C作CG⊥AB，可以求得CG的长，从而得到DF的长．

解答 （1）证明：∵CG⊥AB，DF⊥CE，交EC的延长线于点F，∠CEA=50°，∠ACD=50°，
∴∠CGA=∠CGE=∠DFC=90°，
∴∠GCE=∠CGE-∠CEA=90°-50°=40°，∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ECG+∠GCA+∠ACD+∠DCF=180°，
∴∠GCA+∠DCF=90°，
∴∠GCA=∠FDC，
在△CDF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCA=∠FDC}\\{∠DFC=∠CGA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△ACG（AAS）；
（2）∵△CDF≌△ACG
∴DF=CG，
∵在△ABC中，AC=BC=5，AB=8，过点C作CG⊥AB，
∴AG=4，
∴$CG=\sqrt{A{C}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
∴DF=3．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出题目中全等三角形需要的条件．