题目内容
3．
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA．O恰为水池中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，建立如图所示的平面直角坐标系时，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式满足y=-$\frac{1}{12}$x2+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$．根据以上信息，回答下列问题：（1）柱子OA的高度为$\frac{5}{3}$m；
（2）求喷出的水流与柱子的水平距离为多少m时，水流达到最大高度；最大高度是多少m；
（3）求水池的半径至少要多少m时，才能使喷出的水流不至于落在池外？
（4）一身高为$\frac{11}{12}$m的小孩，在池子内距柱子周围多少m的半径内玩耍，才不至于使水流直接喷到身上？
分析 （1）直接利用x=0求出y的值，进而得出答案
（2）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（3）利用y=0时得出x的值，进而得出水池的半径取值范围；
（4）利用y=$\frac{11}{12}$得出x的值，进而得出答案．
解答 解：（1）当x=0，则y=$\frac{5}{3}$，故OA=$\frac{5}{3}$m；
故答案为：$\frac{5}{3}$；
（2）y=-$\frac{1}{12}$x2+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{12}$（x2-8x）+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{12}$[（x-4）2-16]+$\frac{5}{3}$
=-$\frac{1}{12}$（x-4）2+3，
则喷出的水流与柱子的水平距离为4m时，水流达到最大高度；最大高度是3m；
（3）当y=0时，0=-$\frac{1}{12}$（x-4）2+3，
解得：x1=-2（不合题意舍去），x2=10，
故水池的半径至少要10m时，才能使喷出的水流不至于落在池外；
（4）当y=$\frac{11}{12}$，
则$\frac{11}{12}$=-$\frac{1}{12}$x2+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$
解得：x1=-1，x2=9，
则在池子内距柱子周围9m的半径内玩耍，才不至于使水流直接喷到身上．
点评 此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，正确掌握二次函数的最值求法是解题关键．
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