题目内容
13．
如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l的顶点为C（3，4），抛物线l′和l关于x轴对称．（1）求抛物线l′的函数表达式．
（2）将抛物线l′向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后新抛物线与x轴交点从左向右依次为D、E，其顶点为F，在平移过程中，是否存在以点A、C、E、F为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
（3）设l上的点M、N（M在N的左侧）分别与l′上的点M′、N′之中关于x轴对称，若四边形MNN′M′是正方形，求点M的坐标．
分析 （1）先求出C′点坐标，将A、B两点坐标代入y=a（x-3）2-4即可求得抛物线l2的函数关系式；
（2）由点是平移规律、点的坐标与图形性质以及平行四边形的对边相等的性质进行解答；
（3）由题意可知点M、N关于直线x=3对称，正方形MNN′M′的边长为2|y0|，解方程求出y0即可求出相应的点M的坐标．
解答 
解：（1）如图1，由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l′的函数关系式为y=a（x-3）2-4．（1分）
又因为点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）2-4上，
a（1-3）2-4=0，解得a=1．
∴抛物线l′的函数关系式为y=（x-3）2-4或y=x2-6x+5；
（2）如图2，依题意可得：D（1+m，0），E（5+m，0），F（3+m，-4）
即M，N关于原点O对称，
∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形．
∵AC2=（3-1）2+42=20，
CE2=（5+m-3）2+42=m2+4m+20，
AE2=（5+m-1）2=m2+8m+16，
若AC2+CE2=AE2，则20+m2+4m+20=m2+8m+16，
∴m=6，
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴当m=6时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形．
（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x=3对称．
设M（x0，y0），则正方形MNN′M′的边长为2|y0|．
∵点M在l2上，
∴y0=（3-|y0|-3）2-4，
解得y0=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$．
∴x0=3-|y0|=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
∴点M的坐标为（$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
点评 本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和平行四边形和正方形的性质等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | 10组 | B． | 9组 | C． | 8组 | D． | 7组 |
（1）∠α与∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α、∠β的度数；
（2）若一辆汽车匀速行驶，有一天途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山60千米，距秀水70千米，王家庄到翠湖的路程有多远？
| 地名 | 时间 |
| 王家庄 | 9：00 |
| 青山 | 12：00 |
| 秀水 | 14：00 |
| 果汁饮料 | 碳酸饮料 | |
| 进价（元/箱） | 55 | 38 |
| 售价（元/箱） | 75 | 45 |
（2）求总利润w关于x的函数关系式；
（3）如果购进两种饮料的总费用不超过7000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．
| A． | $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$=$\sqrt{5}$ | B． | $\sqrt{（-2）^{2}}$=-2 | C． | $\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{6}$÷$\sqrt{3}$=2 |
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA．O恰为水池中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，建立如图所示的平面直角坐标系时，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式满足y=-$\frac{1}{12}$x2+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$．根据以上信息，回答下列问题：