Question

11．等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，点F为AC边上一动点
（1）如图1，若E为BF中点，连接DE，BF=13，AB=12，求DE的长度；
（2）如图2，若F为AC中点，过A点作AG⊥BF垂足为点E，交BC于点G，取CG中点M，连接FM，FG，请判断BF，FM，FG之间的数量关系并证明；
（3）当点F在AC上运动时，保持AG⊥BF垂足为点E，连接DE，∠DEG的度数会发生改变吗？如果不变请直接写出∠DEG的度数，如果改变请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=5，得出CF=AC-AF=7，证明DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理得出DE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{7}{2}$即可；
（2）由已知得出AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，得出tan∠AFB=$\frac{AB}{AF}$=2，由直角三角形的性质得出∠BAE=∠AFB，得出tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=tan∠AFB=$\frac{AE}{EF}$=2，设EF=x，则AE=2x，BE=4x，BF=5x，证明FM是△ACG的中位线，由三角形中位线定理得出FM∥AG，FM=$\frac{1}{2}$AG，证出△BEG∽△BFM，得出$\frac{EG}{FM}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{4}{5}$，设EG=4y，则FM=5y，由三角形中位线定理得出5y=$\frac{1}{2}$（2x+4y），解得：x=3y，得出BF=15y，与勾股定理求出FG=5y，即可得出结论；
（3）由等腰直角三角形的性质得出∠ABD=45°，∠ADB=90°=∠AEB，证出A、B、D、E四点共圆，由圆周角定理得出∠DEG=∠ABD=45°即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，BF=13，AB=AC=12，
∴AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=5，
∴CF=AC-AF=12-5=7，
∵D为BC中点，E为BF中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{7}{2}$；
（2）FM+FG=$\frac{2}{3}$BF；理由如下：
∵F为AC中点，AB=AC，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AFB=$\frac{AB}{AF}$=2，
∵AG⊥BF，∠BAC=90°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=∠AFB，
∴tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=tan∠AFB=$\frac{AE}{EF}$=2，
设EF=x，则AE=2x，BE=4x，
∴BF=5x，
∵F为AC中点，M为CG的中点，
∴FM是△ACG的中位线，
∴FM∥AG，FM=$\frac{1}{2}$AG，
∴△BEG∽△BFM，
∴$\frac{EG}{FM}=\frac{BE}{BF}$=$\frac{4}{5}$，
设EG=4y，则FM=5y，
∴5y=$\frac{1}{2}$（2x+4y），
解得：x=3y，
∴BF=15y，FG=$\sqrt{E{F}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{（3y）^{2}+（4y）^{2}}$=5y，
∴FM+FG=10y=$\frac{2}{3}$×15y，
∴FM+FG=$\frac{2}{3}$BF；
（3）∠DEG的度数不会发生改变；理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°=∠AEB，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEG=∠ABD=45°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，运用勾股定理和证明三角形相似是解决问题的关键．