Question

3．已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：
①若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的特点直接求值，
（2）①由点在直线AB上，找出m与n的关系，再用三角形的面积公式求解即可；
②判断出EF最小时，点P的位置，根据三角形的面积公式直接求解即可．

解答 解：（1）令x=0，则y=8，
∴B（0，8），
令y=0，则-2x+8=0，
∴x=4，
∴A（4，0），
（2）∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，
∴-2m+8=n，∵A（4，0），
∴OA=4，
∴0＜m＜4
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$OA×PE=$\frac{1}{2}$×4×n=2（-2m+8）=-4m+16，（0＜m＜4）；
（3）存在，
理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF=OP，
当OP⊥AB时，此时EF最小，
∵A（4，0），B（0，8），
∴AB=4$\sqrt{5}$
∵S△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$AB×OP，
∴OP=$\frac{OA×OB}{AB}=\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$，
∴EF最小=OP=$\frac{8}{5}\sqrt{5}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，极值的确定，解本题的关键是求出三角形PAO的面积．