Question

19．如图1，线段AB=m，以AB的中点O为顶角顶点，BO为腰，2α（0°＜α＜90°）为顶角，在OB上方作等腰三角形OBC，连接AC．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）如图2，将△OBC绕顶点O，逆时针旋转至△OB′C′，连结BC′，AB′相交于点M．
①若sinα=$\frac{3}{5}$，试求$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△B′C′M}}$的值；
②若sinα=$\frac{1}{2}$，试探索：当△OBC从OB′与OB重合起，到OC′与OA重合止的旋转过程中，点M所经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）只要证明，点A、C、B在以AB为直径的圆上，即可解决问题；
（2）先证明A、B、C′、B′四点共圆，由△AMB∽△C′MB′，可得$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△BCM}}$=（$\frac{BM}{B′M}$）²，由此即可解决问题；
（3）如图3中，如图作等腰三角形△ABP，使得∠APB=120°，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，由∠AMB为优弧AB所对的圆周角，当△OBC从OB′与OB重合起，到OC′与OA重合止的旋转过程中，M所经过的路径为$\widehat{AB}$；

解答 （1）证明：如图1中，

∵OA=OB，OB=OC，
∴OA=OB=OC，
∴点A、C、B在以AB为直径的圆上，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．


（2）解：如图2中，

∵OA=OC′=OB′=OB，
∴A、B、C′、B′四点共圆，
∴∠A=∠BC′B′，
∵∠AMB=∠B′MC′，
∴△AMB∽△C′MB′，
∴$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△B′MC′}}$=（$\frac{BM}{B′M}$）²，
∵∠AB′B=90°，∠B′BC=$\frac{1}{2}$∠B′OC′=α，
∴sinα=$\frac{B′M}{BM}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△BCM}}$=（$\frac{BM}{B′M}$）²=$\frac{25}{9}$．

（3）如图3中，

由（2）可知，当sinα=$\frac{1}{2}$时，∠α=∠B′BM=30°，
∴∠B′MB=60°，
∴∠AMB=120°，
如图作等腰三角形△ABP，使得∠APB=120°，
以点P为圆心，PA为半径作⊙P，
∵∠AMB为优弧AB所对的圆周角，
当△OBC从OB′与OB重合起，到OC′与OA重合止的旋转过程中，M所经过的路径为$\widehat{AB}$，
∵AB=a，∴OA=$\frac{1}{2}$a，
∴AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴点M所经过的路径长为$\frac{120•π•\frac{\sqrt{3}}{3}a}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$πa．

点评 本题考查几何变换综合题、圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，第三个问题的突破点是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题．