如图①.在矩形ABCD中.将矩形折叠.使点B落在边AD上.落点记为E.这时折痕与边BC或者边CD交于F.然后展开铺平.则以B.E.F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形．(1)由“折痕三角形的定义可知.矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF 形状是一个等腰三角形,(2)当“折痕△BEF 的顶点E位于AD的中点时.在图(2)中.作出这个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”形状是一个等腰三角形；
（2）当“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，在图（2）中，作出这个“折痕△BEF”（要求尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法）；
（3）如图③，在矩形ABCD中，若AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”的顶点F和点C重合时，设折痕与AB交于点N，求AN的长．

分析（1）根据折叠可得EF=BF，进而可得△BEF是等腰三角形；
（2）根据折痕三角形的定义可得折痕是BE的垂直平分线，因此连接BE，作BE的垂直平分线MN，MN与BC的交点就是F，再连接即可；
（3）由折叠可得：BC=EC，BN=NE，然后计算出DE的长，进而可得AE长，设BN=x，则EN=x，AN=2-x，再利用勾股定理计算出x的值，然后可得答案．

解答解：（1）如图①，根据折叠可得EF=BF，因此△BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；

（2）如图②，根据折痕△BEF可得折痕是BE的垂直平分线，因此连接BE作BE的垂直平分线MN，交BC于F，再连接EF即可得到折痕△BEF；

（3）如图③，由折叠可得：BC=EC，BN=NE，
∵BC=4，
∴EC=4，
在Rt△DEC中，ED=$\sqrt{E{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∵AD=BC=4，
∴AE=4-2$\sqrt{3}$，
设BN=x，则EN=x，AN=2-x，
x²=（2-x）²+（4-2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=8-4$\sqrt{3}$，
∴AN=2-（8-4$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-6．