Question

11．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，C、D是半圆上两个动点，且始终保持线段CD=8．
（1）当CD∥AB时，求CD与AB之间的距离；
（2）在C、D运动的过程中，AD与BC交于点E，∠BED=α，α值是否是定值？若不是，说明理由；若是，求出tanα．

Answer 1

分析 （1）如图1，过O作OE⊥CD于E，连接OC，根据垂径定理得到CE=$\frac{1}{2}$CD=4，根据勾股定理即可得到结论；
（2）α值是定值，如图2，连接BD，根据△CDE∽△ABE，求得$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，于是得到cos∠α=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{4}{5}$，推出α值是定值，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=3k．即可的结论．

解答 解：（1）如图1，过O作OE⊥CD于E，连接OC，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=3，
∴CD与AB之间的距离是3；

（2）α值是定值，如图2，连接BD，
∵∠C=∠DAB，∠CDA=∠ABC，
∴△CDE∽△ABE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠α=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴α值是定值，
设DE=4k，BE=5k，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=3k．
∴tanα=$\frac{BD}{DE}$=$\frac{3k}{4k}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．