已知△ABC中.分别以AB.AC同时向外作等腰三角形.其中AB=AE.AC=AD.M为BC的中点．(1)如图1.若∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°.探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由,(2)如图2.若∠BAC≠90°.∠BAE=∠CAD=90°.探索(1)中的结论是否成立并说明理由,(3)若∠BAC≠90°.∠BAE+∠CAD=180°.探索(1)中的结论是否成立并说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知△ABC中，分别以AB、AC同时向外作等腰三角形，其中AB=AE，AC=AD，M为BC的中点．

（1）如图1，若∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°，探索AM与DE的位置及数量关系并说明理由；
（2）如图2，若∠BAC≠90°，∠BAE=∠CAD=90°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由；
（3）若∠BAC≠90°，∠BAE+∠CAD=180°，探索（1）中的结论是否成立并说明理由．

分析（1）由直角三角形斜边上中线的性质可知AM=$\frac{1}{2}$CB，然后再证明△ABC≌△AED，从而可证明BC=DE，可证得：AM=$\frac{1}{2}$DE，由△BAC≌△DAE，然后在证明∠AEN+∠EAN=90°，可知AM⊥DE．
（2）延长AM到K，使MK=AM，连接BK、CK．可证得四边形ABKC是平行四边形，然后再证明△ABK≌△EAD（SAS），从而可证得：DE=2AM．再根据∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°-90°=90°，可证明AM⊥DE．
（3）延长AM到P，使MP=MA，连接BP．由BM=CM，∠BMP=∠CMA可证得△BMP≌△CMA（SAS），从而得到：BP=AC=AD，∠BPM=∠CAM，然后由∠BAE+∠CAD=α+（180°-α）=180°，可知∠ABP=∠EAD，可证得△ABP≌△EAD（SAS）从而可证明DE=2AM，由∠AND=∠CAD，即可判断AM与DE不一定垂直．

解答解：（1）结论：DE=2AM，AM⊥DE．
理由：如图1中，延长MA交DE于N，
∵M是BC的中点，∠BAC=90°，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC，AM=MC，
在△BAC和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAC=∠EAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△DAE，
∴BC=DE，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE，
∵AM=MC，
∴∠MCA=∠MAC，
∵∠CBA+BCA=90°，
∴∠CBA+∠MAC=90°，
∵△BAC≌△DAE，
∴∠CBA=∠AED，
又∵∠MAC=∠NAE，
∴∠AEN+∠EAN=90°，
∴AM⊥DE．
（2）（1）中结论成立．
理由：如图2，延长AM到K，使MK=AM，连接BK、CK．
∵M为BC边的中点，
∴BM=CM，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC=BK=AD，∠ABK+∠BAC=180°，
∵∠DAC=∠EAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABK=∠DAE，
在△ABK和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BK=AD}\\{∠ABK=∠DAE}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK=DE，∠BAK=∠AED，
∴DE=2AM，
∵∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=180°-90°=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥DE．
（3）数量关系成立：DE=2AM，位置关系不成立．
理由：如图3，延长AM到P，使MP=MA，连接BP．
在△BMP和△CMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CM}\\{∠BMP=∠CMA}\\{MP=MA}\end{array}\right.$，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD，∠BPM=∠CAM，
又∵∠PBM=∠ACM，
∴BP∥AC，∠ABP+∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠EAD，
在△ABP和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=AD}\\{∠ABP=∠EAD}\\{BA=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA=DE，∠BPA=∠EDA=∠PAC，
∵PA=2AM，
∴DE=2AM，
∵∠PAD=∠CAD+∠PAC=∠AND+∠EDA，
∴∠AND=∠DAC，
∴∠AND不一定为90°，
∴AM与DE不一定垂直．