Question

4．已知，如图，AB是半圆O的直径，点C是$\widehat{AB}$上一点，现将半圆沿BC折叠，$\widehat{BC}$恰好过圆心O，点D为BC延长线上一点，且AD与⊙O相切．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若半圆的直径为6，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）过点O作OF⊥BC于E，交半圆O于F点，连接CF，根据垂径定理得到BE=CE，根据折叠的性质得到EF=EO，得到OE=$\frac{1}{2}$OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连接AC，由AD与⊙O相切，得到∠DAB=90°，根据AB是半圆O的直径，得到∠ACD=∠ACB=90°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）过点O作OF⊥BC于E，交半圆O于F点，连接CF，如图，
∵OF⊥BC，
∴BE=CE，
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴EF=EO，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBC=30°，
即∠ABC=30°；

（2）连接AC，
∵AD与⊙O相切，
∴∠DAB=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AB=6，
∴AC=3，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．