Question

12．如图所示，点A、C都是双曲线y=$\frac{4}{x}$在第一象限分支上的点，且△AOB和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=90°，求点D的坐标．

Answer 1

分析 先求出直线y=x与反比例函数图象的交点A，再求出直线BC的解析式，通过解方程组求出点C坐标，求出BC的长即可解决问题．

解答 解：∵△AOB、△BCD是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠CBD=45°，
∴直线OA的解析式为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（2，2）．
∴OA=OB=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$OA=4，
∴点B坐标（4，0）
∵OA∥BC，设直线BC为y=x+b，把点B（4，0）代入得b=-4，
∴直线BC为y=x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（2+2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$-2）．
∴BC=$\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+（2\sqrt{2}-2）^{2}}$=4-2$\sqrt{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$BC=4$\sqrt{2}$-4，
∴OD=4$\sqrt{2}$，
∴点D坐标为（4$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查反比例函数图象上点的特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用一次函数的性质，通过解方程组求交点坐标，属于中考常考题型．