Question

19．关于x的方程x²+ax+a=0的根都是整数，求符合条件的a的整数值．

Answer 1

分析 由△=a²-4a≥0，得到a≥4或a≤0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-a．x₁•x₂=a，∴x₁+x₂+x₁•x₂=0，于是得到x₁+x₂+x₁•x₂+1=1，即可得到结论．

解答 解：∵x的方程x²+ax+a=0的根都是整数，
∴△=a²-4a≥0，
∴a≥4或a≤0，
∵x₁+x₂=-a．x₁•x₂=a，
∴x₁+x₂+x₁•x₂=0，
∴x₁+x₂+x₁•x₂+1=1，
∴（x₁+1+）（x₂+1）=1，
∵x₁，x₂为整数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+1=1}\\{{x}_{2}+1=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+1=-1}\\{{x}_{2}+1=-1}\end{array}\right.$，
∴x₁=x₂=0，或x₁=x₂=-2．
∴a=0或a=4．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．