Question

8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D为AB边上一点，E为BC的中点，将线段DE绕点E顺时针旋转45°后与AC交于点F．
（1）作出点F；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若BC=4，BD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）作∠CEF=∠BDE交AC于F，利用等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质可得∠DEF=45°；
（2）证明△BDE∽△CEF，然后利用相似比可计算出CF的长．

解答 解：（1）如图，点F为所作；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BDE=∠CEF，
∴△BDE∽△CEF，
∴BE：CF=BD：CE，即2：CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$：2，
∴CF=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决（2）小题的关键是证明△BDE∽△CEF．