Question

把y₁=-

1

2

x²的图象向右平移1个单位，再向上平移使平移后的图象经过原点，对应的函数关系式为y₂=ax²+bx+c
（1）求图中阴影部分面积；
（2）求平移后的图象对应的函数关系式；
（3）求使y₁随x增大而减少且y₂随x增大而增大的x的范围．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）根据原抛物线的顶点坐标，由平移规律进而求得新抛物线的解析式，把（0，0）代入即可得到新抛物线解析式，阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
（2）根据（1）的解题过程可以得到新抛物线的解析式；
（3）根据图示可以直接得到答案．

解答： 解：（1）设平移后抛物线的解析式为y=-

1

2

（x-1）²+b．
把（0，0）代入得到：0=-

1

2

（0-1）²+b，
解得 b=

1

2

．
则平移后抛物线的顶点坐标是（1，

1

2

）．
如图，连接OA、OB．则图中阴影部分的面积=

1

2

×2×

1

2

×1=

1

2

；

（2）由（1）易得新抛物线的解析式为：y=-

1

2

（x-1）²+

1

2

=-

1

2

x²-x+1．

（3）由图示知，当0＜x＜1时，y₁随x增大而减少且y₂随x增大而增大．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．