Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，DE⊥AC于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明；
（2）连接OE交⊙O于F，连接DF，若tan∠EDF=$\frac{1}{2}$，求cos∠DEF的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OD，AD，由AB为⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到AO=BO，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；
（2）如图2，延长EO，交⊙O于N，连接DN，OD，由DE与⊙O相切，得到∠EDF=∠DNF根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{ED}$=$\frac{DF}{DN}$=$\frac{1}{2}$，设EF=1，DE=2，根据勾股定理得到OD=$\frac{3}{2}$，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）DE与⊙O相切，
理由：如图1，连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）如图2，延长EO，交⊙O于N，连接DN，OD，
∵DE与⊙O相切，
∴∠EDF=∠DNF，∴tan∠EDF=tan∠DNF=$\frac{1}{2}$，
∵∠FED=∠NED，
∴△△EDF∽△END，∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{DF}{DN}$=$\frac{1}{2}$，设EF=1，DE=2，
∵∠ODE=∠NDF=90°，
∴OD²+DE²=（OD+EF）²，
∴OD=$\frac{3}{2}$，∴OE=$\frac{5}{2}$
∴cos∠DEF=$\frac{DE}{OE}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．