Question

13．如图，等腰三角形ABC中，∠AC=90°，D，E分别为AB，AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD，交BE于点G，交AC于点M．
（1）求证：GM=GE；
（2）求证：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 （1）先判定△ACD≌△ABE（SAS），得出∠ADC=∠AEB，再根据同角的余角相等，得出∠CMG=∠ADC，进而得到∠CMG=∠AEB，最后根据等角对等边得出结论；
（2）先过B作AB的垂线，交MF的延长线于N，根据ASA判定△ABF≌△NBF，得出对应边相等，对应角相等，再根据同角的余角相等，得出∠GBN=∠BAF=∠N，进而判定BG=NG，最后根据线段的和差关系得出结论．

解答 证明：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ADC=∠AEB，
又∵∠CAD=90°，MF⊥CG，
∴∠ADC+∠ACD=90°，∠CMG+∠ACD=90°，
∴∠CMG=∠ADC，
∴∠CMG=∠AEB，
∴EG=MG；

（2）如图，过B作AB的垂线，交MF的延长线于N，则∠NBF=∠ABC=45°，
由（1）可得，△ACD≌△ABE，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠GCF=∠EBF，
又∵FM⊥CD，AF⊥BE，
∴∠GFC=∠AFB，而∠GFC=∠NFB，
∴∠AFB=∠NFB，
由∠NBF=∠ABF，BF=BF，∠AFB=∠NFB，可得△ABF≌△NBF（ASA），
∴AF=NF，∠N=∠FAB，
∵AB⊥NB，AF⊥BE，
∴∠GBN+∠ABE=90°，∠BAF+∠ABE=90°，
∴∠GBN=∠BAF=∠N，
∴GN=GB，
即GF+FN=GB，
∴GF+AF=GB．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决第二问的证明时，要学会判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行．