Question

6．如图，已知直线y=-2x+2交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作矩形ABCD，AB：AD=1：2，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若矩形以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设矩形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，抛物线与矩形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）可先根据AB所在直线的解析式求出A，B两点的坐标，即可得出OA、OB的长．过D作DH⊥y轴于H，则△ADH∽△BAO，由此可得出DH、AH的长，也就能求出D的坐标，同理可求出C的坐标；可根据A、C、D三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）要分三种情况进行讨论：
①当F点在A′B′之间时，即当0＜t≤1时，此时S为三角形FBG的面积，可用正方形的速度求出AB′的长，即可求出B′F的长，然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长，即可得出关于S、t的函数关系式．
②当D′逐渐移动到x轴的过程中，即当1＜t≤3时，此时S为五边形A′B′C′HG的面积，S=正方形A′B′C′D′的面积-三角形GHD′的面积．可据此来列关于S，t的函数关系式；
（3）CE扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积．可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积．

解答 解：（1）∵直线y=-2x+2交坐标轴于A，B两点，
∴A（0，2），B（1，0），
如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，
∵∠AHD=∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAH+∠OAB=90°，
∴∠DAH=∠ABO，
∴△DAH∽△ABO，
∴DH：AO=AH：OB=AD：AB，
∵AB：AD=1：2，
∴AH=2，DH=4，
∴OH=OA+AH=4，
∴点D（4，4），
∴C（5，2），
设抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵抛物线过（0，2）（5，2）（4，4），
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{25a+5b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{5}{2}x+2$；

（2）①∵当点A运动到x轴上时，t=1，
∴当0＜t≤1时，如图2，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA=$\frac{OA}{OF}$=2，
∴tan∠GFB′=$\frac{GB′}{FB′}$=2，
∴GB′=2$\sqrt{5}$t
∴S_△FB′G=$\frac{1}{2}$FB′×GB′=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$t×2$\sqrt{5}$=5t²；
②当点D运动到x轴上时，t=3，
当1＜t≤3时，如图4，
∵A′G=2$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$，
∴GD′=2$\sqrt{5}$-（2$\sqrt{5}$t-2$\sqrt{5}$）=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t，
∵S_△AOF=$\frac{1}{2}$×1×2=1，OA=2，△AOF∽△GD′H
∴$\frac{{S}_{△AOF}}{{S}_{△GD′H}}$=（$\frac{OA}{DG′}$）²，
∴S_△GD′H=5t²-20t+20，
∵S_矩形=2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=10，
∴S=10-（5t²-20t+20）=-5t²+20t-10；

（3）如图5，∵D落在x轴上，
∴t=3，
∴BB′=AA′=3$\sqrt{5}$，
∵AD=2$\sqrt{5}$，
∴由平移的性质可得：S_阴影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}=AD×AA′=2$\sqrt{5}$×3$\sqrt{5}$=30．

点评 此题属于二次函数的综合题，着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形平移变换、三角形相似等重要知识点，注意（2）小题中要根据正方形的不同位置分类进行讨论，不要漏解．