Question

11．如图1，抛物线y=ax²-3ax+3交x轴分别于A（-1，0）、B（4，0）两点，交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿y轴平移交y轴于点D，当BD=2CD时，求点D的坐标；
（3）如图2，若将抛物线沿直线x=m翻折，使翻折后的抛物线交直线BC于P、Q两点，且P、Q关于C点对称，求m的值．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入抛物线解析式求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）设CD=a，BD=2a，OD=OC+CD=a+3，OB=4，在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD²=OD²+OB²，
得到关于a的方程，解方程即可．
（3）设翻折后抛物线与x轴交点为E、F．根据E与B关于x=m对称，A和F关于x=m对称，求出E（2m-4，0），F（2m+1，0），可得翻折后的解析式，与BC解析式联立，得到一元二次方程，根据根与系数的关系，得到4m-2=0，求出m的值．

解答 解：（1）将A（-1，0）代入抛物线解析式得：0=a+3a+3，
解得：a=-$\frac{3}{4}$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3；
（2）设CD=a，BD=2a，
∴OD=OC+CD=a+3，OB=4，
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD²=OD²+OB²
即4a²=（a+3）²+16，
解得：a=1+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$（负值舍去），
∴D（0，1+$\frac{2\sqrt{7}}{3}$）；
（3）如图，设翻折后抛物线与x轴交点为E、F．
∵E与B关于x=m对称，A和F关于x=m对称，
∴E（2m-4，0），F（2m+1，0），
设翻折后的解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x-2m+4）（x-2m-1）
=-$\frac{3}{4}$[x²-（4m-3）x+4m²-6m-4]
=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$（4m-3）x-3m²+$\frac{9}{2}$m+3
设BC解析式为y=kx+b，
将B（4，0）和C（0，4）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ 4k+b=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ k=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
令y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$（4m-3）x-3m²+$\frac{9}{2}$m+3和y=-$\frac{3}{4}$x+3的值相等，得
-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$（4m-3）x-3m²+$\frac{9}{2}$m+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
整理得x²-（4m-2）x+4m²-6m+8=0，
∵P、Q关于C点对称，
∴P、Q的横坐标互为相反数，
则4m-2=0，
m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，难度较大．