Question

17．已知，如图，用两块一样大的直角三角板拼成一个平行四边形，∠BAC=∠ACD=90°．在?ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，点P自A向C、沿AC的方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，自C向B、沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PM⊥AD，并与AD相交于点M，当P、Q中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段MP的长，MP=$\frac{3}{5}$t．
（2）设△PMQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）是否存在某一时刻t，使△PMQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证得△PAM∽△DAC，根据相似三角形的性质得出$\frac{PM}{3}$=$\frac{t}{5}$，即可求得PM=$\frac{3}{5}$t；
（2）作PN⊥BC，则M、P、N共线，在RT△ACD中，根据勾股定理求得AC=4，然后根据△PAM∽△DAC，对应边成比例求得AM=$\frac{4}{5}$t，然后通过证得△PAM∽△PCN，得出$\frac{CN}{\frac{4}{5}t}$=$\frac{4-t}{t}$，即可求得CN=$\frac{4}{5}$（4-t），然后根据三角形面积公式即可求得．
（3）由△PMQ是等腰三角形，则PM=PQ=$\frac{3}{5}$t，作AH⊥BC于H，根据勾股定理求得AH，得出MN，进一步求得PN，根据△ABH∽△CBA，求得NC，得出NQ，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解方程即可求得t的值．

解答 解：（1）如图1，∵PM⊥AD，AC⊥CD，
∴∠AMP=∠ACD，
∵∠PAM=∠DAC，
∴△PAM∽△DAC，
∴$\frac{PM}{CD}$=$\frac{PA}{AD}$，即$\frac{PM}{3}$=$\frac{t}{5}$，
∴PM=$\frac{3}{5}$t，
故答案为$\frac{3}{5}$t；
（2）作PN⊥BC，则M、P、N共线，
在RT△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∵△PAM∽△DAC，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{PA}{AD}$，即$\frac{AM}{4}$=$\frac{t}{5}$，
∴AM=$\frac{4}{5}$t，
∵AD∥BC，
∴△PAM∽△PCN，
∴$\frac{CN}{AM}$=$\frac{PA}{PC}$，即$\frac{CN}{\frac{4}{5}t}$=$\frac{4-t}{t}$，
∴CN=$\frac{4}{5}$（4-t），
∵CQ=t，
∴NQ=$\frac{4}{5}$（4-t）-t=$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t，
①当0＜t≤$\frac{16}{9}$时，
∴y=$\frac{1}{2}$PM•NQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t（$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t）=$\frac{3}{50}$t（16-9t）=-$\frac{27}{50}$t²+$\frac{24}{25}$t，
即y=-$\frac{27}{50}$t²+$\frac{24}{25}$t；
②当$\frac{16}{9}$＜t≤4时，CQ=t，CN=0.8（4-t），QN=t-0.8（4-t）=1.8t-3.2，
y=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{5}$t（1.8t-3.2）=$\frac{27}{50}$t²-$\frac{24}{25}$t
（3）∵△PMQ是等腰三角形，
∴PM=PQ=$\frac{3}{5}$t，
作AH⊥BC于H，
∵∠AHB=∠BAC=90°，∠ABH=∠CBA，
∴△ABH∽△CBA，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AH}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴AH=$\frac{12}{5}$，
∴MN=AH=$\frac{12}{5}$，
∴PN=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t，
在RT△PQN中，PQ²=PN²+NQ²，
∴（$\frac{3}{5}$t）²=（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t）²+（$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t）²，
整理得81t-360t+400=0，
∴t=$\frac{20}{9}$，
∴存在某一时刻t，使△PMQ是等腰三角形，此时t=$\frac{20}{9}$．

点评 本题是四边形的综合题，考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积等，作出辅助线根据相似三角形和直角三角形是解题的关键．